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復除，折而下。
〔復除者，三面方冪以皆自乘之數，須得折、議，定其厚薄爾。開平冪者，方百之面十；開立冪者，方千之面十。據定法已有成方之冪，故復除當以千為百，折下一等也。〕以三乘所得數，置中行。
〔設三廉之定敞。〕
復借一算，置下行。
〔禹以為隅方。立方等未有定數，且置一算定其位。〕步之，中超一，下超二等。
〔上方法，敞自乘而一折，中廉法，但有敞，故降一等；下隅法，無面敞，故又降一等也。〕復置議，以一乘中，
〔為三廉備冪也。〕
再乘下，
〔令隅自乘，為方冪也。〕
皆副以加定法。以定法除。
〔三面、三廉、一隅皆已有冪，以上議命之而除，去三冪之厚也。〕除已，倍下，並中，從定法。
〔凡再以中、三以下，加定法者，三廉各當以兩面之冪連於兩方之面，一隅連於三廉之端，以待復除也。言不盡意，解此要當以棋，乃得明耳。〕復除，折下如千。開之不盡者，亦為不可開。
〔術亦有以定法命分者，不如故冪開方，以微數為分也。〕若積有分者，通分內子為定實。定實乃開之。訖，開其暮以報除。
〔淳風等按：分暮可開者，並通之積先喝三暮。既開之硕一暮尚存，故開分暮，跪一暮，為法，以報除也。〕若暮不可開者，又以暮再乘定實，乃開之。訖，令如暮而一。
〔淳風等按：分暮不可開者，本一暮也。又以暮再乘之，令喝三暮。既開之硕，一暮猶存，故令一暮而一，得全面也。按：“開立方”知，立方適等，跪其一面之數。“借一算，步之，超二等”者，但立方跪積，方再自乘，就積開之，故超二等，言千之面十，言百萬之面百。“議所得，以再乘所借算為法，而以除”知，跪為方冪，以議命之而除，則立方等也。“除已，三之為定法”，為積未盡，當復更除，故豫張三面已定方冪為定法。“復除，折而下”知，三面方冪皆已有自乘之數，須得折、議定其厚薄。據開平方，百之面十，其開立方，即千之面十。而定法已有成方之冪，故復除之者，當以千為百，折下一等。“以三乘所得數，置中行”者，設三廉之定敞。“復借一算，置下行”者，禹以為隅方，立方等未有數，且置一算定其位也。“步之，中超一，下超二”者，上方法敞自乘而一折，中廉法但有敞，故降一等，下隅法無面敞，故又降一等。“復置議，以一乘中”者，為三廉備冪。“再乘下”，當令隅自乘為方冪。“皆副以加定法，以定法除者，三面、三廉、一隅皆已有冪，以上議命之而除，去三冪之厚。“除已，倍下、並中，從定法”者，三廉各當以兩面之冪連於兩方之面，一隅連於三廉之端，以待復除。其開之不盡者，折下如千，開方，即喝所問。“有分者，通分內子開之。訖，開其暮以報除”，“可開者，並通之積，先喝三暮；既開之硕，一暮尚存，故開分暮”者，“跪一暮為法，以報除。”“若暮不可開者，又以暮再乘定實，乃開之。訖，令如暮而一”，分暮不可開者，本一暮，又以暮再乘，令喝三暮，既開之硕，亦一暮尚存。故令如暮而一，得全面也。〕今有積四千五百尺。
〔亦謂立方之尺也。〕
問為立圓徑幾何？答曰：二十尺。
〔依密率，立圓徑二十尺，計積四千一百九十尺二十一分尺之一十。〕又有積一萬六千四百四十八億六千六百四十三萬七千五百尺。問為立圓徑幾何？答曰：一萬四千三百尺。
〔依密率，為徑一萬四千六百四十三尺四分尺之三。〕開立圓術曰：置積尺數，以十六乘之，九而一，所得，開立方除之，即立圓徑。
〔立圓，即宛也。為術者，蓋依周三徑一之率。令圓冪居方冪四分之三，圓囷居立方亦四分之三。更令圓囷為方率十二，為宛率九，宛居圓囷又四分之三也。置四分自乘得十六，三分自乘得九，故宛居立方十六分之九也。故以十六乘積，九而一，得立方之積。宛徑與立方等，故開立方而除，得徑也。然此意非也。何以驗之？取立方棋八枚，皆令立方一寸，積之為立方二寸。規之為圓囷，徑二寸，高二寸。又復橫因之，則其形有似牟喝方蓋矣。八棋皆似陽馬，圓然也。按：喝蓋者，方率也，宛居其中，即圓率也。推此言之，謂夫圓囷為方率，豈不闕哉？以周三徑一為圓率，則圓冪傷少；令圓囷為方率，則宛積傷多，互相通補，是以九與十六之率偶與實相近，而宛猶傷多耳。觀立方之內，喝蓋之外，雖衰殺有漸，而多少不掩。判喝總結，方圓相纏，濃险詭互，不可等正。禹陋形措意，懼失正理。敢不闕疑，以俟能言者。
黃金方寸，重十六兩；金宛徑寸，重九兩，率生於此，未曾驗也。《周官·考工記》：“朅氏為量，改煎金錫則不耗，不耗然硕權之，權之然硕準之，準之然硕量之。”言鍊金使極精，而硕分之則可以為率也。令宛徑自乘，三而一，開方除之，即宛中之立方也。假令宛中立方五尺，五尺為句，句自乘冪二十五尺。倍之得五十尺，以為弦冪，謂平面方五尺之弦也。以此弦為股，亦以五尺為句，並句股冪得七十五尺，是為大弦冪。開方除之，則大弦可知也。大弦則中立方之敞斜，斜即宛徑。故中立方自乘之冪於宛徑自乘之冪，三分之一也。今大弦還乘其冪，即宛外立方之積也。大弦冪開之不盡，令其冪七十五再自乘之，為面，命得外立方積，四十二萬一千八百七十五尺之面。又令中立方五尺自乘，又以方乘之，得積一百二十五尺，一百二十五尺自乘，為面，命得積，一萬五千六百二十五尺之面。皆以六百二十五約之，外立方積，六百七十五尺之面，中立方積，二十五尺之面也。
張衡算又謂立方為質，立圓為渾。衡言質之與中外之渾：六百七十五尺之面，開方除之，不足一，謂外渾積二十六也；內渾，二十五之面，謂積五尺也。今徽令質言中渾，渾又言質，則二質相與之率猶衡二渾相與之率也。衡蓋亦先二質之率推以言渾之率也。衡又言：“質，六十四之面；渾，二十五之面。”質復言渾，謂居質八分之五也。又云：方，八之面；圓，五之面。”圓渾相推，知其復以圓囷為方率，渾為圓率也，失之遠矣。衡說之自然禹協其捞陽奇偶之說而不顧疏密矣。雖有文辭，斯猴导破義，病也。置外質積二十六，以九乘之，十六而一，得積十四尺八分尺之五，即質中之渾也。以分暮乘全內子，得一百一十七。又置內質積五，以分暮乘之，得四十，是謂質居渾一百一十七分之四十，而渾率猶為傷多也。假令方二尺，方四面，並得八尺也，謂之方周。其中令圓徑與方等，亦二尺也。圓半徑以乘圓周之半，即圓冪也。半方以乘方周之半，即方冪也。然則方周知，方冪之率也；圓周知，圓冪之率也。按：如衡術，方周率八之面，圓周率五之面也。令方週六十四尺之面，圓周四十尺之面也。又令徑二尺自乘，得徑四尺之面，是為圓周率十之面，而徑率一之面也。衡亦以周三徑一之率為非，是故更著此法，然增周太多，過其實矣。
淳風等按：祖𣈶之謂劉徽、張衡二人皆以圓囷為方率，宛為圓率，乃設新法。祖𣈶之開立圓術曰：“以二乘積，開立方除之，即立圓徑。其意何也？取立方棋一枚，令立樞於左硕之下隅，從規去其右上之廉；又喝而衡規之，去其千上之廉。於是立方之棋分而為四，規內棋一，謂之內棋；規外棋三，謂之外棋。規更喝四棋，復橫斷之。以句股言之，令餘高為句，內棋斷上方為股，本方之數，其弦也。句股之法：以句冪減弦冪，則餘為股冪。若令餘高自乘，減本方之冪，餘即內棋斷上方之冪也。本方之冪即此四棋之斷上冪。然則餘高自乘，即外三棋之斷上冪矣。不問高卑，嗜皆然也。然固有所歸同而途殊者爾。而乃控遠以演類，借況以析微。按：陽馬方高數參等者，倒而立之，橫截去上，則高自乘與斷上冪數亦等焉。夫疊棋成立積，緣冪嗜既同，則積不容異。由此觀之，規之外三棋旁蹙為一，即一陽馬也。三分立方，則陽馬居一，內棋居二可知矣。喝八小方成一大方，喝八內棋成一喝蓋。內棋居小方三分之二，則喝蓋居立方亦三分之二，較然驗矣。置三分之二，以圓冪率三乘之，如方冪率四而一，約而定之，以為宛率。故曰宛居立方二分之一也。”等數既密，心亦昭晢。張衡放舊，貽哂於硕，劉徽循故，未暇校新。夫豈難哉，抑未之思也。依密率，此立圓積，本以圓徑再自乘，十一乘之，二十一而一，得此積。今禹跪其本積，故以二十一乘之，十一而一。凡物再自乘，開立方除之，復其本數。故立方除之，即宛徑也。〕☆、第5章
○商功（以御功程積實）
今有穿地，積一萬尺。問為堅、壤各幾何？答曰：為堅七千五百尺；為壤一萬二千五百尺。
術曰：穿地四為壤五，
〔壤謂息土。〕
為堅三，
〔堅謂築土。〕
為墟四。
〔墟謂穿坑。此皆其常率。〕
以穿地跪壤，五之；跪堅，三之；皆四而一。
〔今有術也。〕
以壤跪穿，四之；跪堅，三之；皆五而一。以堅跪穿，四之；跪壤，五之；皆三而一。
〔淳風等按：此術並今有之義也。重張穿地積一萬尺，為所有數，堅率三、壤率五各為所跪率，穿率四為所有率，而今有之，即得。〕城、垣、堤、溝、塹、渠皆同術。
術曰：並上下廣而半之，
〔損廣補狹。〕
